Formule du crible, formule de Poincaré : $${{\Bbb P(A\cup B)}}={{\Bbb P(A)+\Bbb P(B)-\Bbb P(A\cap B)}}$$
(Union - Réunion, Intersection)
Trois événements
Formule du crible, formule de Poincaré : $${{\Bbb P(A\cup B\cup C)}}={{\begin{align}&\Bbb P(A)+\Bbb P(B)+\Bbb P(C)-\Bbb P(A\cap B)-\Bbb P(A\cap C)-\Bbb P(B\cap C)+\Bbb P(A\cap B\cap C)\end{align} }}$$
(Union - Réunion, Intersection)
N événements
Formule de Poincaré :$$\begin{align} {{P\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right)}}=&{{\sum^n_{k=1}\left((-1)^{k+1}\sum_{1\leqslant i_1\lt \cdots\lt i_k\leqslant n} P(A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_k})\right)}}\end{align}$$
La démonstration se fait par récurrence sur \(n\)
Formule de Poincaré :
Si les probabilités \(P(A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_k})\) sont toutes égales pour \(1\leqslant i_1\lt \cdots\lt i_k\leqslant n\) et \(k\in\{1,\ldots,n\}\), alors : $${{P\left(\bigcup^n_{i=1}A_i\right)}}={{\sum^n_{k=1}\left((-1)^{k+1}\binom nkP(A_1\cap\ldots\cap A_k)\right)}}$$
Formule du crible, formule de Poincaré : $${{P(A_1\cup\dots\cup A_n)}}={{\sum^n_{j=1}(-1)^{j-1}\sum_{1\leqslant k_1\lt \dots\lt k_j\leqslant n}P(A_{k_1}\cap\dots\cap A_{k_j})}}$$
Formule du crible :
\(A_1,\dots,A_n\) sont \(n\) événements d'un Espace de probabilité \((\Omega,\mathcal A,{\Bbb P})\)
$$\Huge\iff$$
$${\Bbb P}\left(\bigcup_{k=1}^nA_k\right)=\sum^n_{l=1}(-1)^{l-1}\sum_{I\in{\mathcal P}_{l,n} }{\Bbb P}(A_I)$$avec \({\mathcal P}_{l,n}=\{I\subset[\![1,n]\!]\mid\operatorname{Card}(I)=l\}\), et \(A_I=\bigcup_{i\in I}A_i\)
Intérêt
Pour calculer la probabilité de l'union d'évènements, on utilise la formule du crible (ou formule de Poincaré)
